レイキャスティング

最も単純な３次元図形「球」を対象として， レイキャスティング法によるレンダリングプログラムを作成する． シェーディング（陰付け）とシャドウイング（影付け）を実装し， Fig.1 のように（ある程度）リアルな画像を生成することを目標とする．

なお，Fig.1 では， 拡散反射率や鏡面反射率の調整によって， 質感の異なる球体が表現されている．

Fig.1.　レイキャスティング法による球体のレンダリング例

光線と物体の交差計算

レイキャスティング法（ray-casting）では， ある点から発射された光線（照明光線，視線）を追跡し， どれかの物体との衝突を検出する． 実際には，次の２種類の処理で利用される：

• ビューイング（viewing）： 視点からスクリーンの各画素方向へ視線を追跡 （つまり，反射光線のうち視点へ到達するものを逆方向に追跡）し， 物体との交差を調べる． 交差していれば，その物体は見えていることになる．
• シャドーイング（shadowing）： 物体表面の注視点から照明光線を逆方向に追跡し， 他の物体との交差を調べる． 交差していれば，その注視点は影に入っていることになる．

ここでは，簡単のため物体の形状を球に限定し， レイキャスティングをベクトル的に解析する． Fig.2 のような配置を考えよう．

Fig.2.　球体のレイキャスティング

各変数の意味は次の通り：

： 球の中心点の位置ベクトル，　　　　　 ： 球の半径
： 光線の始点の位置ベクトル，　　　　　 ： 光線の速度ベクトル
： 交点の位置ベクトル，　　　　　　　 ： 光線が交点に到達するのにかかる時間

また，光線と交点，球と交点との関係は，それぞれ，次のようになっている：

これらの２式から P(t) を消去すると， 次の二次方程式が得られる：

この方程式を解いて t を求めれば， 交点 P(t) を算出できる． なお，交点の個数は１個とは限らないことに注意しよう．

以下，簡単のため方程式を次のように置き換えて解説する：

• の場合：

t の実数解が存在しないので，交点も存在しない．

要するに，光線は球に当たっていない．
• の場合 ：

球の中心が光線とは逆方向にあるということなので， 明らかに，交点は存在しない．

数学的には，二次方程式の解は存在する． でも，物理的には，光は逆方向には進まないからね．
• の場合：

光線の始点が球の内部にあるということなので， 交点は存在しないものとする．

数学的には，二次方程式の解は存在する． しかし今回，物理的には，球の内部を光は通過しない，と仮定．
• その他の場合：

  の実数解が２つ存在する．

  ，　　

  それらのうち小さい方（始点に近い方の点）を交点の計算に採用する．

  なぜ近い方だけ？ 物体の表面（近い方の交点）に入射した視線や光線は， その物体自身によって遮られ， 裏面（遠い方の交点）には届かないので．

シェーディング

シェーディング（shading）では， 視線方向（の逆方向）への反射光の強さを求める． この処理も，ベクトル演算によって計算される． ベクトルの配置を Fig.3 に示す．

Fig.3.　光線等のベクトル配置

• 環境光と拡散反射

環境光（周囲物体からの反射等による均一な照明光）の強度 I_a による 拡散反射光の強度 L_a および 照明光の強度 I_i による 拡散反射光の強度 L_d は， 拡散反射率 K_d， 照明光の方向 L， および法線の方向 N から， 次のように計算される．


ただし，
　　

なお，この数式のままでは， 拡散反射光の強度 L_d が負となる場合もある． しかし，物理的には，光の強度は非負のハズなので， cosα ＜ 0 の場合には， cosα ＝ 0 等と変更する必要がある．

照明されていない場所では，当然，反射もないよね？物理的に．
• 鏡面反射

鏡面反射強度 L_s は， 鏡面反射率 K_s， 鏡面反射方向 R， および視線方向 V に依存する． なお，Fig.3 の視線方向 V は， 実際の視線（レイキャスティングの視線）とは逆向きであることに注意せよ．

反射率 K_s について， 教科書では入射角α に依存する関数 W(α) として紹介されているが， 今回は簡略化し，定数とした．

ただし，
　　
　　

なお，拡散反射と同様， cosγ ＜ 0 の場合には，cosγ＝ 0 としておく必要がある． cosα ＜ 0 の場合にも，cosγ＝ 0 である．

なお，n はハイライト部分の大きさを制御するパラメータであり， 反射率と同様に，材料に固有の値をもつ． n が大きいほどシャープなハイライトが得られる．

以上の反射光強度の合計 L_a＋L_d＋L_s が シェーディングの結果となる．

デプスバッファ法による隠面処理

以前利用した BSP-tree 法では， ポリゴンモデルの隠面処理を高速に実現していた． しかし，この方法は曲面体に対してはうまく適用できない． そこで今回は，デプスバッファ法（depth-buffering）を利用する．

デプスバッファは，画像の一種であり， 色情報の代わりに深度（視点から物体表面までの距離） を画素値としている．

デプスバッファ法のアルゴリズムは次の通り：

• 各物体について反復：
• 注視点を求める．
• 注視点の深度値がデプスバッファの深度値より小さい場合：
• 色を計算する．
• フレームバッファに色情報を記録する．
• デプスバッファに注視点の深度値を記録する．
要するに，最も手前にある物体で画像を上書きして行くってことだ．

これで，木生成やソートなどの前処理を施さなくても，隠面処理を実現できる． 教科書 p.107 および配布資料 p.66 の「Zバッファ法」を参照せよ．

基本プログラム

ダウンロードして実行してみよう：

• ソースファイル：raycast.tgz
• コンパイル方法：

$  tar zxvf raycast.tgz
$  cd raycast
$  make

• コンパイルと実行：

$  ./raycast &

この基本プログラムでは， 環境光と拡散反射のシェーディングのみが実装されている． 鏡面反射およびシャドーイングについては実装されていない． （これが本日の課題．）

なお，ベクトル演算の注意点として， 計算しようとしている量が ベクトル or スカラのどちらであるのか？ 見極めることが非常に重要である． たくさんの関数の中から，適切な関数を選び出すこと．

シャドーイング

基本プログラムでは， 照明光が物体を通過して他の物体を照らしている状況であった． しかし，現実の世界では， 光は最初に交差した物体によってさえぎられ， そこに影が生じるハズである． 余裕のある者は， この現象をプログラムに実装してみよう．

基本的なアルゴリズムを示す：

1. 注視点（視線と物体の交点）の位置ベクトル P_lookat を求める．
これが交差計算における始点 P₁ に対応する． Fig.2 を参照せよ． なお，このベクトルの計算については， ビューイング処理の結果として既に求められているハズであり， 基本プログラム raycast.c でも実装済み．
2. 照明光の方向ベクトル L の逆ベクトル L' ＝ −L を求める．
これが交差計算における速度 D となる． 逆方向にする理由は，この光線の始点が光源ではなく，物体であるためだ．
3. すべての物体に対して （注視している物体以外に対して） 交差計算を実行する．
• 交点が 1 つでも存在する場合： その物体によって照明光がさえぎられている． つまり，注視点は影領域内にあるということになる．
照明光の強度をゼロとして，環境光だけ使ってシェーディングする． I_i ＝ 0 または L_d ＝ L_s ＝ 0 として計算すればよい．
• 交点がまったく存在しない場合： 注視点は直接照明されていることになる．
普通にシェーディングしてよい．

本日の課題

基本プログラム raycast.c を元にして，鏡面反射を実装せよ． そして，球の配置・材料や照明の方向などのパラメータを自由に変更し， オリジナルな画像を生成すること．

また，余裕のある者はさらに，シャドーイングについても実装せよ． （この場合，もちろん，影が写っている画像を作ること．）

さらにやる気のある者は， 他の形状（平面，円柱，など）も表示できるようにしてみては？ （この場合，交差計算とデータ構造についても考案する必要がある．）

実行結果の画像を作るには，前回同様，import を使えばよい．