座標変換２

三次元座標系の取扱方法について理解しよう．

教科書の該当範囲：第２章，第３章

前回の振り返りと三次元への移行

アフィン変換とか同次座標って何だった？

同次座標への変換：三次元標準座標系 \(\Coord{x, y, z}\) → 四次元同次座標系 \(\Coord{X, Y, Z, W}\) \[ \V{p} = \Mat{x \\ y \\ z} \quad \longrightarrow \quad \V{P} = \Mat{X \\ Y \\ Z \\ W} = \Mat{x \\ y \\ z \\ 1} \]
前回の二次元から今回の三次元への変更点：三行目に z 成分が追加（挿入）されただけです．なお，W 成分は四行目に移動．
標準座標への逆変換：四次元同次座標系 \(\Coord{X, Y, Z, W}\) → 三次元標準座標系 \(\Coord{x, y, z}\) \[ \V{P} = \Mat{X \\ Y \\ Z \\ W} \quad \longrightarrow \quad \V{p} = \Mat{X/W \\ Y/W \\ Z/W} = \Mat{x \\ y \\ z} \]
座標 \( W \) の値はゼロ以外なら何でもOK．大抵は簡単のため，\( W = 1 \) としておく．
標準座標 → 同次座標のアフィン変換： \[ \V{p}' = A \ \V{p} + \V{b} \quad \longrightarrow \quad \V{P}' = A^+ \ \V{P} \] 　⏩　\( A^+ = \Mat{A & \V{b} \\ \V{0}^{\mathrm T} & 1} \) 　，　\(A\)：標準座標の変換行列（3×3），　\(\V{b}\)：標準座標の変位ベクトル（3D）
標準座標ではベクトルの和だった平行移動も，同次座標では拡大や回転などと同様，行列の積で表現できてしまう．

以下では，すべて同次座標系として話を進めるので，拡大変換行列 \( A^+ \) のことを，改めて，変換行列 \( A \) と呼びますよ．

三次元アフィン変換の例

今回は回転だけ．平行移動と拡大・縮小については，二次元と同様なので省略．

z軸中心の回転：
二次元の回転（xy平面内での回転）は，これなんです．行列・ベクトルに \(z\) 成分を追加しただけ．
\[ R_z(\theta) = \Mat{ \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} \]
右手座標系の流儀では， +z方向から見て反時計回り（CCW）が正の角度ですよ．
x軸中心の回転：
yz平面内での回転なので， z軸回転の各行・各列を循環的に交換 xyz→ yzx するだけ．
\[ R_x(\theta) = \Mat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} \]
変換行列の３×３部分を右下にズラし，ハミ出し部分は左上から戻しただけですね．
y軸中心の回転：
zx平面内での回転． x軸回転から交換 yzx → zxy．
\[ R_y(\theta) = \Mat{ \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1} \]
同じく右下ズラし．負号の位置に注意．

変換行列の４行目と４列目は，W 成分なので， xyz の交換の影響は受けませんよ．
変換行列の表記法のまとめ：
- \( T(\V{d}) \)：平行移動　，　\( \V d \)：変位ベクトル
- \( S(\V{s}) \)：拡大・縮小　，　\( \V s \)：拡大率ベクトル
- \( R_a(\theta) \)：\(a\)軸中心回転
本科目で採用している１つの流儀にすぎません．他の流儀もあります．

引数のベクトルについては，成分表示してもOK．

三次元合成変換の例

図示して考えよう．

移動軸中心の回転：位置ベクトル \( \V{c} = \Mat{x_0 & y_0 & 0}^{\mathrm T} \) に平行移動された \( z \) 軸を中心とする角度 \( \alpha \) の回転： \[ \V{P}' = T(+\V{c}) \ R_z(\alpha) \ T(-\V{c}) \ \V{P} \]
傾斜軸中心の回転：方向ベクトル \( \Mat{\sin\phi \cos\theta & \sin\phi \sin\theta & \cos\phi}^{\mathrm T} \) を中心軸とする角度 \( \alpha \) の回転： \[ \V{P}' = R_z(+\theta) \ R_y(+\phi) \ R_z(\alpha) \ R_y(-\phi) \ R_z(-\theta) \ \V{P} \]

投影変換（projection）

三次元CGと云えど，表示先は二次元スクリーン... 三次元ワールド座標 → 二次元スクリーン座標の変換．

投影は合成変換の最終段１回だけなので必要性は薄いが，行列に一体化できれば，より効率的．

投影の効果説明図（PDF）
投影の設定の一例：
- カメラ位置：\( \Coord{0, 0, +e} \)
- スクリーン：\( xy \)平面，\( z' = 0 \)
- 投影方向：\( -z \)軸
この設定の場合には，下記のような投影結果（変換後の位置ベクトル）となります．（別の設定では，当然，異なる結果に．）
平行投影（parallel proj...），垂直投影（orthographic ...）： \[ \Mat{x' \\ y' \\ z'} = \Mat{x \\ y \\ \color{red}0} \]
変換行列もスケーリングを元にして，次のように表せます．
\[ P_\mathrm{para} = \Mat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{0} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } \]
透視投影（perspective proj...），中心投影（central ...）： \[ \Mat{x' \\ y' \\ z'} = {\color{red}\F{e}{e - z}} \Mat{x \\ y \\ 0} \]
係数の分母の \( z \) の存在に注意．こんなの変換行列（一次式）にできるのかい？同次座標を利用し， W 成分に \( z \) が現れるように，平行投影の変換行列の４行目を適切に整えれば，できます．
\[ P_\mathrm{pers} = \Mat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}-1/e & 1 } \]
別の設定では，当然，異なる行列に．

ここでは簡易的に，モデル座標系 → スクリーン座標系の変換でした．より実際的な3D-CGでは，カメラの位置・視野の設定を反映するため，途中にビュー座標系との間の変換も必要ですよ．