ガウスの消去法の高精度化

連立１次方程式（simultaneous linear equation）の解を ガウスの消去法（Gaussian elimination）によって 数値的に精度よく求めよう．

実験

ガウスの消去法の基本プログラム gauss.c に対して， 以下の作業に取り組め．

作業：

1. まずは，gauss.c のコードおよびコメントを熟読せよ．
2. ソースファイルに記述されている動作テスト用問題(1) および (2) を実行し， 解析結果が正しいことを確認せよ．
3. 動作テスト用問題(3) および (4) を実行し， 単精度実数（float型）では解析に失敗し（計算が不可能または結果が不正確となり）， 倍精度実数（double型）では解析に成功する（結果が正確となる）ことを確認せよ．

ガウスの消去法は，代数的には厳密解を常に算出できるハズである． しかし，数値的には充分な精度の近似解を得られない場合もある． 要するに，この実験では，数値計算における誤差の伝搬の影響を実感せよ．

基本プログラム（DL）：

• gauss.c
• Makefile

参考資料： ガウスの消去法

課題

基本プログラム gauss.c を元にして， ピボット選択関数 pivot()， スケーリング関数 scaleRow() ， 等を適切に実装し， 解析精度を改良せよ．

「動作テスト用問題(3) および (4)」が これらの処理によって単精度でも成功となる ことを確認すること． なお，それぞれの問題に対して， 次の計算方法の組み合わせについて実験し， 「成功／不正確／不可能」を評価すること：

1. 単精度，ピボット選択なし（基本プログラム）の場合
2. 単精度，ピボット選択あり，スケーリングなしの場合
3. 単精度，ピボット選択あり，スケーリングありの場合

さらに，基本プログラムの解析失敗と改良版の解析成功について，原因を考察せよ．

また，余裕のある人は，計算量（乗除算の回数）を計測したり，計算量の削減について試してみては？