ピタゴラスの三角形

ピタゴラスの三角形とは， 各辺の長さの比 a:b:c が自然数となるような， 作図に都合のよい直角三角形のことだ．

表．ピタゴラスの三角形の一覧 （ただし，a ≦ b ≦ c ≦ 100 の範囲のみ．他にもたくさんある．）

底辺a 高さb 斜辺c 角度A 角度B 13 84 85 8.8 81.2 11 60 61 10.4 79.6 9 40 41 12.7 77.3 16 63 65 14.3 75.7 7 24 25 16.3 73.7 12 35 37 18.9 71.1 5 12 13 22.6 67.4 36 77 85 25.1 64.9 39 80 89 26.0 64.0 8 15 17 28.1 61.9 33 56 65 30.5 59.5 28 45 53 31.9 58.1 3 4 5 36.9 53.1 48 55 73 41.1 48.9 65 72 97 42.1 47.9 20 21 29 43.6 46.4

たとえば，三角柱の展開図を考えてみよう． まず，底面については，簡単のため，二等辺直角三角形としてみよう． この三角形の 2 頂点の角度は A＝B＝45度， 辺の長さの比は a：b：c＝1：1：√2 だ． この場合，側面の 3 長方形の底辺の比も 1：1：√2 とすればよいことになるが， そんな半端な長さを正確に作図できるだろうか？

まあ，√2 = 1.41421356... なので， 長方形の方では 1.4 とかゴマカしてしまうのも一手だろう． しかし，三角形の方は正確に √2 であり，√2 ≠ 1.4 なので， 底面と側面の接合部では寸法が完全には一致しない． したがって，組み立て後の仕上がりが悪くなってしまうだろう．

そこで，ピタゴラスの三角形を利用してみよう． 底面の二等辺直角三角形を少しだけ変形し， A＝43.6度，B＝46.4度の直角三角形でよいことにすれば， 辺長を a：b：c＝20：21：29 と整数比率にできる． これでは，二等辺三角形ではなくなってしまう． しかし，底面と側面とを正確に同じ寸法で作図できるようになり， 綺麗に組み立てられるようになるだろう．

なお，このテクニックは， 直角三角形を 2 個組み合わせれば， 直角でない三角形にも応用できる． たとえば，正三角形を作図したい場合， 角度 B は正確には 60 度であるが， 底辺長が整数の 2 の場合でも， 高さは実数の √3 となるので， とても作業しづらい．

この場合， B＝59.5度の 33:56:65 または B＝61.9度の 8:15:17 の直角三角形を 2 個使えばよい． これだと，組み合わせ後の三角形の辺長は 66：65：65 または 16：17：17 となり， 完全な正三角形ではなくなってしまうが，おおむね正三角形には見えるだろう．

これらを利用すれば，展開図のすべての辺の長さを整数化できるので， 接合部の正確な寸法合わせが可能になる． つまり，形状を多少犠牲にすることにはなるものの， 組み立て後の仕上がりは良くなる．