信号
本科目「信号処理 "signal processing"」の概要を把握し，
アナログ信号 "analog signal" と
ディジタル信号 "digital signal" について，
それぞれの特性および両者間の変換方法を理解しよう．
本科目の概要
アナログ信号
周波数スペクトル
- 周波数スペクトル "frequency spectrum"：信号 \( x(t) \) を構成する周波数成分の分布 \( X(\omega) \)
- フーリエ級数展開 "Fourier series expansion"：任意の周期波形＝1/k周期の正弦波の和
\[ x(t) = \sum_{k=0}^{\infty} X_k \exp j \omega_k t \quad , \quad \omega_k = \F{2 \pi k}{T} \]
- フーリエ変換 "Fourier transform"：任意の波形＝あらゆる周波数の正弦波の和
\[ x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} X(\omega) \exp j \omega t \ \D{\omega} \]
ディジタル信号
A/D変換，D/A変換
- アナログ→ディジタル変換（A/D変換）"analog-to-digital conversion"：
符号化 "encoding"
PCM を利用．
- ディジタル → アナログ変換（D/A変換）"digital-to-analog conversion"：
復号化 "decoding"
PCM の逆変換．
PCM の基礎
- パルス符号変調 "pulse code modulation"：
アナログ信号波 →【標本化】→【量子化】→ 符号列（ビット列）
- 標本化 "sampling"：
- 信号の時間方向の離散化 "discretization"：アナログ信号 \( x(t) \) の一定時間毎の強度（実数値）\( x_k = x(k \ t_s) \) を取得．
- 標本化周期 "sampling period"（or 標本化間隔 "sampling interval"）：\( t_\mathrm{s} \) （or \( \Delta t \)）
- 標本化周波数 "sampling frequency" (or "sampling rate")：\( f_\mathrm{s} = 1/t_\mathrm{s} \)
標準的な標本化周波数は 44.1 kHz や 48 kHz．
- 標本化周波数 \( f_\mathrm{s} \) が小さすぎると，
原信号 "original signal" に含まれていた情報の多くが失われてしまう．
- 一方，\( f_\mathrm{s} \) が大きいと，データ量も肥大化してしまう．
原信号を完全に再現可能となるような必要最小限の \( f_\mathrm{s} \) の値は？
- ナイキスト-シャノンの標本化定理 "Nyquist-Shannon sampling theorem"（or "sampling theorem"）：
\( f_\mathrm{s} \gt 2 f_\mathrm{max} \)
→ 標本値から原信号を完全に再現可能．
- 逆に，標本化周波数の半分より高い周波数が含まれていると，再現不可能．
偽信号 "alias" が混入してしまう．
通常は，標本化の前に，信号の高周波成分をカットしておく．
え？カットしちゃっていいのかい？
はい，人間の可聴周波数範囲は 20 Hz〜20 kHz なので無問題．
- 量子化 "quantization"：
- 信号の強度方向の離散化：強度（実数値）\( x \) → バイナリデータ（整数値）\( x' \)
線形 PCM では \( x' = \mathrm{int}(\alpha \ x + \beta) \)
- 量子化深度（量子化ビット数）"quantization bit depth"
標準的な深度は 16 bit → 65,536 階調．
深度は階調数 "number of gradation levels" そのものではありませんよ．
階調数の二進数の桁数−１です．
- 量子化誤差 "quantization error"
深度が小さいと誤差は大きい（精度は低い）．
一方，深度が大きいと誤差は小さい（精度は高い）が，データ量が肥大化...
PCMのバリエーション
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