ディジタルフィルタ２

前回の有限インパルス応答 "finite impulse response" （FIR）フィルタについて振り返り． そして，補足も少々．

• 時間応答：\( y_n = \DS\sum_m b_m x_{n - m} \)
  右辺は，畳み込み "convolution"．
  • \( x_n \)，\( y_n \)：入力・出力の離散信号の第 \( n \) 標本値， \( n = 0, 1, 2, \cdots, N-1 \)
  • \( N \)：標本数 "number of samples"，標本値の個数
  • \( b_m \)：第 \( m \) フィルタ係数 "filter coefficient"， \( m = 0, 1, 2, \cdots, J-1 \)
  • \( J \)：タップ数 "number of taps"，フィルタ係数の個数
    タップ数が有限個なので，インパルス応答も有限長．
    なお，残響長（タップ数−１）だけ，出力信号の標本数が増えますよ．
  時間応答 \( x_n \rightarrow y_n \) を求めたいだけなら，以上で完了．
  周波数特性を調べたい or 定めたい場合，以下に続く．
• 周波数応答：
  • Z 変換：\( Y(z) = H(z) X(z) \)
    畳み込みの Z 変換は，Z 変換の積．
  • 伝達関数（\( z \) 領域）：\( H(z) = \DS\sum_m b_m z^{-m} \)
    • \( z^{-m} \)：標本 \( m \) 個分の遅延 "delay"， \( z^{-1} = W_N = \DS\exp\P({- j \F{2 \pi k}{N}}) \)
  • ブロック図：
    板書 or 教科書 p.108 図6.5，等を参照．
  • 伝達関数（周波数領域）：\( H_k = \DS\sum_m b_m \exp\P({-j \F{2 \pi k m}{N}}) \)
    これは，\( z \) と \( H(z) \) の数式から直接的に導出される．
  • スペクトル：\( Y_k = H_k X_k \)
    • \( X_k \)，\( Y_k \)：入力・出力の離散スペクトルの第 \( k \) 高調波成分， \( k = 0, 1, 2, \cdots, N-1 \)
  • 単純な伝達関数の導出例： \[ y_n = (x_n + x_{n - d})/2 \]
    前回の例では，遅延時間 \( d = 1 \) でした． 今回は，その一般化．
    \[ H(z) = (1 + z^{-d})/2 \] \[ \begin{array}{rcl} \N{H(z)} & = & \Sqrt{H(z) \CC{H(z)}} \\ & \vdots & \\ & = & \DS\Sqrt{\F{2 + z^d + z^{-d}}{4}} \\ \N{H_k} & = & \DS\Sqrt{\F{1 + \cos(2\pi d k/n)}{2}} \end{array} \]
    様々な \( d \) 値に対して，図示してみましょう．

    • \( d = 1 \) → 低域通過フィルタ（LPF）
    • \( d = 2 \) → 帯域阻止フィルタ（BEF）
    • \( d = 3 \) → 阻止帯域２個の BEF
    • ...

    通過域と阻止域が交互に現れる櫛形フィルタ "comb filter" 特性が出現． 組み合わせれば様々なフィルタ特性を実現できそうですね．

• FIR フィルタの簡便な設計方法：
  上記 \( H_k \) の数式って，\( J = N \)，\( m = n \) とすれば， フィルタ係数 \( b_m \) に対する DFT，つまり \( B_k \) の計算式だよね？ と云うことは逆に，伝達関数を IDFT すればフィルタ係数になる，のかな...？

  アナログフィルタの伝達関数 \( H(\omega) \) の数式 → 離散化 → 伝達関数 \( H_k = B_k \) → IDFT → フィルタ係数 \( b_n \)

  設計の詳細については，本科目の守備範囲外です． やる気ある人は各自で調査・学習してね．
• FIR フィルタの性質：
  • ◯ 構造が単純なので，設計は容易．
    単純ではあるが，規模は大きくなりがち．
  • × 大規模になると，効率が低下．
    タップ数が大きい場合，実装・実行にかかるコストも大きい． メモリサイズとかレイテンシの問題ですね．
    タップ数を減らしたいのですが... コスト削減すると，精度が低下．

出力を入力へ帰還（フィードバック）"feedback" すると， 無限インパルス応答 "infinite impulse response"（IIR）フィルタが得られる．

• 単純なフィードバックの例： \[ y_n = x_n + a y_{n-1} \]
  現在の入力 \( x_n \) の他に， 過去の出力 \( y_{n-1} \) も入力．
  数値 \( y_n \) を算出するために， すでに算出された数値 \( y_{n-1} \) を利用... 要するに，再帰処理ですね．
• ブロック図：
  板書 or 教科書 p.113 図6.8，等を参照．
  フィードバック経路によって，ひとつのフィルタ係数を複数回利用するので， 大規模な FIR と同様な長時間の残響を小規模に実現できる？
• インパルス応答： \[ \V{x} = \Mat{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots} \rightarrow \V{y} = \Mat{1 \\ a \\ a^2 \\ a^3 \\ \vdots} \] \[ y_n = a^n \]
  フィルタ係数が１個だけなのに， 単独のインパルス入力に対して，無限長の出力ですね．
  理論的には無限長ですが，もちろん， 実際には有限長（出力が充分に小さく収束した時点など）で 打ち切ることになりますよ．
• 安定性： フィルタ係数 \( a \) の値によっては， 出力が収束せず， 不安定化の危険がある． \[ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n = \SimEq{ 0 & ( |a| \lt 1 ) & \mathrm{：安定（収束）　◯} \\ \pm 1 & ( |a| = 1 ) & \mathrm{：臨界安定（発振）×} \\ \pm\infty & ( |a| \gt 1 ) & \mathrm{：不安定（発散）×} } \]
  IIR では，設計時に，安定性への注意が必要． ハウリングですね．
  FIR では，常に安定．

IIR フィルタに対して，時間応答から周波数特性を解析してみる．

• 時間応答： \[ y_n = \sum_{m=0}^{J-1} b_m x_{n-m} \Red{-} \sum_{m=1}^{I-1} a_m y_{n-m} \]
  フィードバックなしの部分（FIR と同じ係数 \( b_m \)）と フィードバックありの部分（係数 \( a_m \) との組み合せです． 総和の \( m \) の範囲が \( a_m \) と \( b_m \) とで異なることに注意．
  フィードバック部のフィルタ係数 \( a \) の符号の定義について， どちらでも良いのですが... ポジティブフィードバック \( +a \) では出力増大→発散のイメージがあるので， ネガティブフィードバック \( -a \) としておくのがお約束のようです．
• Z 変換： \[ \begin{array}{rcl} Y(z) & = & B(z) X(z) - A(z) Y(z) \\ \P\{{1 + A(z)}\} Y(z) & = & B(z) X(z) \\ Y(z) & = & \DS\F{B(z)}{1 + A(z)} X(z) \end{array} \]
• 伝達関数（\( z \) 領域）： \[ H(z) = \F{B(z)}{1 + A(z)} \]
  FIR と同様，畳み込みの Z 変換は，Z 変換の積です．
  • \( A(z) = \DS\sum_{m=1}^{I-1} a_m z^{-m} \)
  • \( B(z) = \DS\sum_{m=0}^{J-1} b_m z^{-m} \)
  総和の \( m \) の範囲が \( a_m \) と \( b_m \) とで... なんですが， 範囲外では \( a_m = b_m = 0 \) と定義すれば， 総和の範囲は気にせず OK． 離散信号と同様 \( 0 〜 N-1 \) と考えれば好都合．
  さらに，\( a_0 = 1 \) とすれば， 伝達関数の分母の１も省略できそうですが， 教科書に合わせて，残しておきましょう．
  分母＝０だと不安定．
• ブロック図：
  板書 or 教科書 p.119 図6.11，等を参照．
• 伝達関数（周波数領域）：
  省略．\( z \) を \( \exp(\cdots) \) に変えるだけなので．
• 単純な例： \[ y_n = (x_n + y_{n-d})/2 \] \[ H(z) = \F{\F{1}{2}}{1 - \F{1}{2} z^{-d}} \] \[ \N{H(z)} = \cdots = \F{\F{1}{2}}{\Sqrt{1 + \F{1}{4} - \F{1}{2} (z^d + z^{-d})}} \] \[ \N{H_k} = \cdots = \F{1}{\Sqrt{5 - 4 \cos(2\pi d k/N)}} \]
  図示すると，FIR より顕著な櫛形フィルタ "comb filter" 特性が出現． IIR では，通過域と遮断域の境界がシャープですね．
  FIR の結果も思い出せば， 伝達関数の分母・分子のフィルタ係数の組み合せによって， 多様なフィルタ特性を表現できそうですよね．

• IIR フィルタの設計：
  時間応答（フィルタ係数）から 周波数応答（伝達関数）の算出は容易だが， その逆については一般に，厳密な算出は困難．
  • 双一次変換法： アナログフィルタの伝達関数 \( H(\omega) \) の数式 → 双一次変換 → 伝達関数 \( H(z) \) → フィルタ係数 \( a_m, b_m \)
    厳密解法ではなく近似解法． 補正も必要．
  • 双一次変換の導出： \[ \begin{array}{rcl} z & = & \exp(j 2 \pi k/N) = \exp(j \omega/f_{\mathrm{s}}) \\ & = & \DS\F{\exp(j \omega/f_{\mathrm{s}}/2)}{\exp(-j \omega/f_{\mathrm{s}}/2)} \\ & \simeq & \DS\F{1 + j \omega/f_{\mathrm{s}}/2}{1 - j \omega/f_{\mathrm{s}}/2} \\ \end{array} \]
    離散周波数を連続周波数に変換し， テイラー展開の１次近似を利用．
    \[ j\omega \simeq 2 f_{\mathrm{s}} \F{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}} \]
    この近似により，\( H(\omega) \) （大抵は \( \omega \) の多項式の分数形式）を \( H(z) \)（\( z^{-1} \) の多項式の分数形式）に変形．
  設計の詳細については，本科目の守備範囲外です． やる気ある人は各自で調査・学習してね．
• IIR フィルタの性質：
  • ◯ 実装・実行コストが小．
  • × 設計コストが大．