レイキャスティング

最も単純な３次元図形「球」を対象として， レイキャスティング法によるレンダリングプログラムを作成する． シェーディング（陰付け）とシャドウイング（影付け）を実装し， Fig.1 のように（ある程度）リアルな画像を生成することを目標とする．

なお，Fig.1 では， 拡散反射率や鏡面反射率の調整によって， 質感の異なる球体が表現されている．

光線と物体の交差計算

レイキャスティング法（ray-casting）では， ある点から発射された光線（照明光線，視線）を追跡し， どれかの物体との衝突を検出する． この衝突検出は，次の２種類の処理で共通に利用される：

• ビューイング（viewing）： 視点からスクリーンの各画素方向へ視線を追跡 （つまり，反射光線のうち視点へ到達するものを逆方向に追跡）し， 物体との交差を調べる． 交差していれば，その物体は見えていることになる．
• シャドーイング（shadowing）： 物体表面の注視点から照明光線を逆方向に追跡し， 他の物体との交差を調べる． 交差していれば，その注視点は影に入っていることになる．

ここでは，簡単のため物体の形状を球に限定し， レイキャスティングをベクトル的に解析する． Fig.2 のような配置を考えよう．

各変数の意味は次の通り：

• \( \V{P}_0 \) ：球の中心点の位置ベクトル
• \( R \)：球の半径
• \( \V{P}_1 \) ：光線の始点の位置ベクトル（視点）
• \( \V{D} \) ：光線の速度ベクトル（視線）
• \( \V{P}(t) \) ：球面上の交点の位置ベクトル（注視点）
• \( t \)：光線が交点に到達するまでの所要時間

また，光線と交点，球と交点との関係は，それぞれ，次の２式で表される：

• 光線の方程式（直線運動の方程式）：
  \[ \V{P}(t) = \V{P}_1 + \V{D} t\]
• 球面の方程式：
  \[ R = \P|{\V{P}(t) - \V{P}_0}| \]

これらの２式から \( \V{P}(t) \) を消去すると， 次の二次方程式が得られる：

この方程式を解いて \( t \) を求めれば， 交点 \( \V{P}(t) \) を算出できる． なお，交点の個数は１個とは限らないことに注意しよう．

以下，簡単のため方程式を次のように置き換えて解説する．

• \( d = b^2 - 4 a c \lt 0 \) の場合： \( t \) の実数解が存在しないので，交点も存在しない．
  要するに，光線は球に当たっていない．
• \( b \geq 0 \) の場合： 球の中心が光線とは逆方向にあるということなので， 明らかに，交点は存在しない．
  数学的には，二次方程式の解は存在する． でも，物理的には，光は逆方向には進まないからね．
• \( c \lt 0 \) の場合： 光線の始点が球の内部にあるということなので， 交点は存在しないものとする．
  数学的には，二次方程式の解は存在する． しかし今回，物理的には，球の内部を光は通過しない，と限定．
• その他の場合： 時間 \( t \) の実数解が１つまたは２つ存在する． それらのうち小さい方（始点に近い方の点）を交点の計算に採用する．
  \[ t = \DS\F{b + \sqrt{d}}{-2 a} \]
  なぜ近い方だけ？ 物理的・現実的に， 物体の表面（近い方の交点）に入射した視線や光線は， その物体自身によって遮られ， 裏面（遠い方の交点）には届かないので．

シェーディング

シェーディング（shading）では， 光源から放射され，物体表面で反射され，視点へ到達した光の強度を求める． この処理でも，ベクトル演算が利用される． ベクトルの配置を Fig.3 に示す．

各変数の意味は次の通り：

• \( \V{L} \)：光源の方向ベクトル（入射光線の逆方向），\( \N{\V{L}} = 1 \)
• \( \V{N} \)：物体表面の法線ベクトル，\( \N{\V{N}} = 1 \)
• \( \V{R} \)：反射光線の方向ベクトル，\( \N{\V{R}} = 1 \)
• \( \V{V} \)：視点の方向ベクトル（視線の逆方向），\( \N{\V{V}} = 1 \)

古典的なシェーディングモデル：

• 直接照明による拡散反射（diffuse）： 拡散反射光の強度 \( I_\mathrm{d} \) は， 入射光（直接照明）の強度 \( I_\mathrm{i} \) と 方向 \( \V{L} \) ， および物体表面の拡散反射率 \( k_\mathrm{d} \) と 法線 \( \V{N} \) に依存し， 次のように計算される．
  \[ I_\mathrm{d} = k_\mathrm{d} I_\mathrm{i} \cos\theta \/, \cos\theta = \V{L}\.\V{N} \]

  なお，この数式のままでは， 拡散反射光の強度 \( I_\mathrm{d} \) が負となる場合もある． しかし，物理的には，光の強度は非負のハズなので， \( \cos\theta \lt 0 \) の場合には， \( \cos\theta = 0 \) 等と変更する必要がある．

  照明されていない場所では，当然，反射もないよね？物理的に．
  教科書等の表記法： \( \cos\theta = \max\P({\V{L}\.\V{N} , 0}) \)
• 直接照明による鏡面反射（specular）： 鏡面反射光の強度 \( I_\mathrm{s} \) は， 物体表面の鏡面反射率 \( k_\mathrm{s} \) ， 反射方向 \( \V{R} \) ， および視点方向 \( \V{V} \) に依存する．
  \[ I_\mathrm{s} = k_\mathrm{s} I_\mathrm{i} \cos^n \phi \/, \cos\phi = \V{R}\.\V{V} \/, \V{R} = 2 \P({\V{L}\.\V{N}}) \V{N} - \V{L} \]

  ここで，\( n \) はハイライト部分の大きさを制御するパラメータであり， 反射率と同様に，材料に固有の値をもつ． 値が大きいほどシャープなハイライトが得られる．

  鏡面反射率 \( k_\mathrm{s} \) について， ここでは簡単のため定数としているが， 入射角 \( \theta \) に依存する関数とする場合もある．

  なお，拡散反射と同様， \( \cos\phi \lt 0 \) の場合には， \( \cos\phi = 0 \) としておく必要がある． さらに， \( \cos\theta \lt 0 \) の場合にも， \( \cos\phi = 0 \) とすべきである．

  その理由は？物理的に．

  反射方向 \( \V{R} \) の算出方法については， Fig.4 から理解できるだろう．

  

  法線 \( \V{N} \) が物体表面上の位置によって異なるため， 反射方向 \( \V{R} \) の再計算も必要となり， 計算コストが高くつく． リアルタイムレンダリング等では， コスト削減のため，位置に依存しないハーフベクトル \( \V{H} = \DS\F{\V{L} + \V{V}}{\N{\V{L} + \V{V}}} \) を利用する場合もある． この場合，\( \V{R}\.\V{V} \) の近似値として， \( \V{H}\.\V{N} \) を採用する．
• 環境光（ambient）による拡散反射： 環境光（周囲物体からの反射等による均一な照明光）による反射光の強度 \( I_\mathrm{ad} \) は， 環境光の強度 \( I_\mathrm{a} \) と物体表面の拡散反射率 \( k_\mathrm{d} \) から計算される．
  \[ I_\mathrm{ad} = k_\mathrm{d} I_\mathrm{a} \]
  教科書では，環境光専用の反射率 \( k_\mathrm{a} \) を導入しているが， ここでは，簡単のため，拡散反射率 \( k_\mathrm{d} \) を再利用しておく．

以上の反射光強度の合計 \( I = I_\mathrm{ad} + I_\mathrm{d} + I_\mathrm{s} \) を 物体表面の色として画像化する．

デプスバッファ法による隠面処理

以前利用した BSP-tree 法では， ポリゴンモデルの隠面処理を高速に実現していた． しかし，この方法は曲面体に対してはうまく適用できない． そこで今回は，デプスバッファ法（depth buffering）を利用する．

デプスバッファは，画像の一種であり， 色情報の代わりに深度（視点から物体表面までの距離，D値） を画素値としている． 深度画像の例を Fig.5 に示しておく． 色が白の画素は深度が大（遠距離），黒は小（近）を表している．

デプスバッファ法の基本アルゴリズムは次の通り：

• 各物体について反復：
  • 注視点を求める．
  • 注視点の深度値がデプスバッファの深度値より小さい場合：
    • シェーディングによりRGB値を算出し，フレームバッファに記録する．
    • 注視点の深度値をデプスバッファに記録する．
  要するに，最も手前側にある物体の色で画像を上書きして行くってことだ．

これで，二分木生成やソーティングなどの前処理を施さなくても， 隠面処理を実現できる． 教科書 pp.72-74 を参照せよ．

基本プログラム

ダウンロードして実行してみよう：

• ソースファイル：raycast.tgz
• コンパイル方法：

  $  tar zxvf raycast.tgz
  $  cd raycast
  $  make
  

• コンパイルと実行：

  $  ./raycast &
  

この基本プログラムでは， 環境光と拡散反射のシェーディングのみが実装されている． 鏡面反射およびシャドーイングについては実装されていない． （これが本日の課題．）

なお，ベクトル演算の注意点として， 計算しようとしている量が ベクトル or スカラのどちらであるのか？ 見極めることが非常に重要である． たくさんの関数の中から，適切な関数を選び出すこと．

シャドーイング

基本プログラムでは， 照明光が物体を通過して他の物体を照らしている状況であった． しかし，現実の世界では， 光は最初に交差した物体によってさえぎられ， そこに影が生じるハズである． 余裕のある者は， この現象をプログラムに実装してみよう．

基本的なアルゴリズムを示す：

1. 注視点（視線と物体の交点）の位置ベクトル \( \V{P}_\mathrm{lookat} \) を求める． （すでに算出済みのハズ．）
   これが交差計算における始点 \( \V{P}_1 \) に対応する． Fig.2 を参照せよ． なお，このベクトルの計算については， ビューイング処理の結果として既に求められているハズであり， 基本プログラム raycast.c でも実装済み．
2. 照明光の方向ベクトル \( \V{L} \) を求める． （すでに設定済みのハズ．）
   これが交差計算における速度 \( \V{D} \) に対応． 光線の進行方向とは逆方向と定義されているので， 物体から光源の方向へ進む速度ベクトルとして好都合だなー．
3. すべての物体（ただし，注視対象以外）に対して 交差計算を実行する． そして，交点数に応じて：
   • 交点が 1 つでも存在する場合： その物体によって照明光がさえぎられている． つまり，注視点は影領域内にあるということになる．
     照明光の強度をゼロとして，環境光だけ使ってシェーディングする． つまり， \( I_\mathrm{d} = I_\mathrm{s} = 0 \) とすれば良いだろう．
   • 交点がまったく存在しない場合： 注視点は直接照明されていることになる．
     普通にシェーディングしてよい．

要するに，視点の代わりに注視点， 視線の代わりに照明光線を使って交差判定すればよい． 他の物体との間に交差があれば， その注視点は影領域内ということになる．

本日の課題

基本プログラム raycast.c を元にして，鏡面反射を実装せよ． そして，球体・材料・照明などのパラメータを自由に変更し， 意味のあるオリジナル画像を生成すること．

また，余裕のある者はさらに，シャドーイングについても実装せよ． （この場合，もちろん，影が写っている画像を作ること．）

実行結果の画像を作るには，以前と同様，import を使えばよい．

上級者向け

さらにやる気のある者は...

• 他の形状（平面，円柱，楕円体，など）も表示できるようにしてみては？

  この場合，交差計算やデータ構造などについても考案する必要がある．

• レイトレーシング化にも挑戦してみては？

  レイキャスティングとシェーディングの処理を関数化し， 整反射方向へ視線を再帰的に進めて行けばよい． 材料構造体に映り込み反射率とかの追加も必要．

• 物体同士のCSG演算（ANDとかNOT）を導入してみては？
  • OR は実装済みです．物体を並べるだけなので．
    これは，POV-Ray の union および merge に相当します．
  • AND は，すべての物体の共通部分です． つまり注視点（視線と物体の交差点）がどれかの物体の外部だと， それは注視点ではない，とすればよいハズ． （または，すべての注視点の内，深度最大のものが本当の注視点．）
    POV-Ray の intersection に相当します．
  • NOT は物体の内／外の反転です． 物体構造体に内外フラグを追加し，交差等の計算方法を切り替えればよいでしょう．
    そして例えば，物体1 AND NOT物体2 は， POV-Ray の difference { 物体1 物体2 } になりますね．

Fig.6 は，球体と平面に対するレイトレーシングの実行例である．