座標変換１
二次元座標系の取扱方法について理解しよう．
今回，数学的には二次元の話．
ただし，概念的には三次元にも通用．
教科書の該当範囲：第２章
座標系（coordinate system）
モデリングにおいて，位置ベクトル等の設定の際，何を基準にするか？
ある座標系で定義された図形を別の座標系へ移動・再配置したりもします．
アフィン変換（affine transform）
英語：transform でも transformation でも OK．
図形の位置・姿勢・形状・等の変更操作の数学的表現．
- アフィン変換の一般形：
\( \V{p}' = A \ \V{p} + \V{b} \)
- \( \V{p} \)：変換前の位置ベクトル，等
- \( \V{p}' \)：変換後の位置ベクトル，等
- \( A \)：拡大，回転，等の変換行列（transform matrix）
- \( \V{b} \)：平行移動の変位ベクトル（displacement vector）
- 幾何変換（geometric trans...）：同一の座標系内での変換
例：標準タイヤを \( s \) 倍に拡大し，大形タイヤを作成：\( \V{p}' = s \V{p} \)
なお，この例では，原点をタイヤの中心に設定していますよ．
要するに，タイヤのモデル座標系における座標の変換．
- 座標変換（coordinate ...）：複数の座標系間での変換
例：タイヤを自動車本体の位置 \( \V{d} \) に取付：\( \V{p}'' = \V{p}' + \V{d} \)
この例では，原点を自動車本体のどこかに設定していますよ．
タイヤの原点を移動・再配置しています．
要するに，タイヤのモデル座標系から自動車本体のモデル座標系への変換．
座標を変えるという意味では，
幾何変換も座標変換も同じことですね．
どちらも，数学的にはアフィン変換．
一次変換とか線形写像の仲間．
二次元アフィン変換の例
二次元におけるアフィン変換 \( \V{p}' = A \V{p} + \V{b} \) の具体例．
- 平行移動（translation）：
\[ \Mat{x' \\ y'} = \Mat{x + d_x \\ y + d_y} = \Mat{x \\ y} + \Mat{d_x \\ d_y} \]
ベクトル表現 ⏩ \( \V{p}' = \V{p} + \V{d} \)
， \( \V{d} \)：変位ベクトル，平行移動量
行列 \(A\) 相当のものがないってか？
（見えないけど）単位行列があるじゃないか．
- 拡大・縮小（scaling）：
原点を基準とする拡大・縮小ですよ．
座標系の設定によっては，図形全体の位置がズレる可能性もあります．
- 回転（rotation）：
\[ \Mat{x' \\ y'}
= \Mat{x \cos\theta - y \sin\theta \\ x \sin\theta + y \cos\theta}
= \Mat{\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta} \Mat{x \\ y} \]
⏩ \( \V{p}' = R(\theta) \ \V{p} \)
， \( R(\theta) \)：回転行列 ， \( \theta \)：回転角度
原点を中心とする反時計回りな回転ですよ．
二次元の回転は１種類だけですが，
三次元では各軸方向３種類の回転が出てきますよ．
（次回予告）
以上，POV-Ray の変換命令 translate，scale，rotate の計算方法の解説でした．
合成変換（composite transform）
複数個のアフィン変換 \( A_k \V{p} + \V{b}_k \) を連続的・階層的に適用しますよ．
例えば，小部品を作り，それらを組み合わせて中部品を作り，それらを...，...世界全体を完成．
以前に実習しましたね．
合成変換の適用・記述の順序に注意．
本科目では列ベクトル方式を採用しているので，
各変換行列を適用順に，右側から左側へ向けて記述して行くんですよ．
（数式を左から見ると，適用順とは逆．）
同次座標（homogeneous coordinate）
平行移動も行列の積で表現してしまえ!!
どうやって？
- 同次座標への変換：二次元標準座標系 \(\Coord{x, y}\)
→ 三次元同次座標系 \(\Coord{X, Y, W}\)
\[ \V{p} = \Mat{x \\ y}
\quad \longrightarrow \quad
\V{P} = \Mat{X \\ Y \\ W}
= \Mat{x \\ y \\ 1} \]
- \( \V{P} \)：同次座標の位置ベクトル
- \( \V{p} \)：標準座標（通常座標）の位置ベクトル
- 標準座標への逆変換：
三次元同次座標系 \(\Coord{X, Y, W}\)
→ 二次元標準座標系 \(\Coord{x, y}\)
\[ \V{P} = \Mat{X \\ Y \\ W}
\quad \longrightarrow \quad
\V{p} = \Mat{X/W \\ Y/W} = \Mat{x \\ y} \]
座標 \( W \) の値はゼロ以外なら何でもOK．
大抵は簡単のため，\( W = 1 \) としておく．
- 平行移動の同次座標化：
\[ \Mat{x' \\ y'} = \Mat{x + d_x \\ y + d_y} = \Mat{x \\ y} + \Mat{d_x \\ d_y}
\quad \longrightarrow \quad
\Mat{X' \\ Y' \\ W'}
= \Mat{x + d_x \\ y + d_y \\ 1}
= \Mat{1 & 0 & d_x \\ 0 & 1 & d_y \\ 0 & 0 & 1} \Mat{x \\ y \\ 1} \]
⏩ \( \V{p}' = \V{p} + \V{d} \quad \longrightarrow \quad \V{P}' = T(d_x , d_y) \V{P} \)
ベクトルの和 → 行列の積．
表現できちゃったよ♫
アフィン変換の回数が多くても低コストで済みますね．
- アフィン変換の同次座標化：
\[ \V{p}' = A \ \V{p} + \V{b}
\quad \longrightarrow \quad
\V{P}' = A^+ \ \V{P} \]
⏩ \( A^+ = \Mat{A & \V{b} \\ \V{0}^{\mathrm T} & 1} \)：拡大変換行列（augmented transform matrix）
今後は，この拡大変換行列 \( A^+ \) のことを，
改めて，単に「変換行列」と呼んだり，
「\( A \)」と記したりもしますよ．
この同次座標とか，
複素数（電気電子工学で利用したフェーザ法）とかも同様ですが，
問題を冗長・複雑化しているように見えて，
実際には単純・効率化しているんですね．
これぞテクノロジーですね．
初期投資によって大きな利益を生み出せるんですね．
逆に，楽するためには苦労が必要なんですね．
つらかった高専での学習が，
皆さんの今後の生活のため，
有効な投資となっていたなら吉．